重大传染病的风险防控和感染者救治关乎人类健康和社会稳定，自2022年12月7日国务院联防联控机制发布《关于进一步优化落实新冠肺炎疫情防控措施的通知》^[1]以来，新型冠状病毒肺炎更名为新型冠状病毒感染，从“乙类甲管”调整为“乙类乙管”，进入到新的防控阶段。在新型冠状病毒感染常态化防控的新时期，科学预测新型冠状病毒感染病例数对于掌握感染趋势、确诊患者救治及卫生经费支持等医疗卫生资源的合理配置具有重要参考价值。传染病预测模型主要分为两类：第一类是结合传染病自身传播机制构建数据模型，如传播动力学仓室模型^[2]；另一类是基于时间序列历史数据进行趋势预测的统计模型，如灰色预测和指数平滑或自回归移动平均模型^[3-4]。为比较灰色模型和指数平滑模型2种时间序列分析模型对新型冠状病毒感染的预测效果，为构建适宜新型冠状病毒感染“乙类乙管”时期的短期预测模型提供参考依据，本研究收集云南省西双版纳傣族自治州2022年12月12 — 31日所辖景洪市、勐腊县和勐海县医疗机构发热门诊上报的54836例就诊者相关数据，针对发热门诊就诊数、核酸检测阳性数、抗原检测阳性数3条时间序列分别构建了灰色模型和指数平滑模型，并采用预测值与实际值的平均相对误差评价模型的预测效果。结果报告如下。

1.   资料与方法

1.1   资料来源

资料来源于西双版纳傣族自治州景洪市、勐腊县和勐海县3个地区医疗机构发热门诊就诊者新型冠状病毒核酸检测及抗原检测阳性数信息登记汇总表，本研究收集2022年12月12 — 31日该信息汇总表中报告的54836例发热门诊就诊者新型冠状病毒核酸检测及抗原检测阳性数进行分析。

1.2   方法

将所有数据按“日”进行整理，并采用70%左右的数据建立训练集，30%的数据建立验证集，即采用2022年12月12 — 27日西双版纳傣族自治州3个地区发热门诊就诊数以及新冠核酸和抗原检测阳性数进行模型拟合，分别构建单变量一阶微分方程灰色模型GM（1，1）和非季节性指数平滑模型，再采用2022年12月28 — 31日的数据对模型的预测效果进行验证。本研究主要针对3条时间序列进行预测：（1）发热门诊就诊数时间序列；（2）发热门诊新型冠状病毒阳性数（基于核酸检测）时间序列，即，发热门诊就诊数 × 核酸检测阳性率（核酸检测阳性数/核酸检测总数）；（3）发热门诊新型冠状病毒阳性数（基于病原检测）时间序列，即，发热门诊就诊数 × 病原检测阳性率（病原检测阳性数/病原检测总数）。

1.2.1   灰色模型建模

灰色系统理论是邓聚龙教授在1982年提出的在少数据、少信息的不确定性背景下，通过对数据的处理、现象的分析达到预测模型的建立和发展趋势的预测^[5]。GM（1，1）是最典型的灰色模型，在中短期甚至长期预测中能够较为精准地模拟和预测在时间序列上的动态变化。GM（1，1）模型的建立过程为^[6-7]：（1）确定原始序列 x^（0） ，并进行一阶累加，生成累加序列 x^（1）。（2）均值生成：对x^（1）求均值，得到相邻均值生成序列y^（1）。（3）根据累加序列 x^（1）建立一阶线性微分方程：dx^（1）/dt + ax^（1） = u，模型中主要参数a为发展系数，u为灰色作用量。通过参数a可判断模型适用的预测长度，– a ≤ 0.3时，模型可用于中长期预测；0.3 < – a ≤ 0.5 时，模型适用于短期预测；0.5 < – a ≤ 1.0时，需对模型校正；1.0 ≤ – a时，数据不适用于建模。（4）累减还原求解，原始序列 x^（1）的估计值序列为 x^（1）（k + 1）=［x^（1）（0）– u/a］e^{（– ak）} + u/a。本研究由于原始数据未通过级比检验，所以对数据进行必要处理，取适当常数对序列进行“平移变换”，从而使得平移转换后序列满足级比检验，级比值位于[e^（– 2/（n + 1）]～[e^（2/n + 1）]区间内，即平移转换后的序列适合构建灰色预测模型。

1.2.2   指数平滑模型建模

指数平滑模型是通过对历史观测值的加权平均来预测未来数值，是对不规则的时间序列加以平滑，从而获得其变化规律和趋势以对未来进行推断和预测^[8]，即通过剔除随机波动干扰找出数据序列中存在的规律，可用于季节性或非季节性波动的数据序列的反复预测^[9]。指数平滑模型分为非季节性模型和季节性模型，其中非季节性模型包括简单非季节性模型、Holt线性趋势模型、Brown线性趋势模型和阻尼趋势模型，季节性模型包括简单季节性模型、Winters可加性模型和Winters相乘性模型。Ljung-Box Q检验残差序列是否为独立序列的假设检验^[8]，检验水准α = 0.05，若P > 0.05，则可认为拟合的模型数据不存在自相关，为白噪声序列，符合指数平滑模型建模时对数据的要求。

1.3   统计分析

应用SPSS 23.0软件对数据进行统计分析，并采用Excel 2016软件进行绘图。根据后验差比C值和平均相对误差来确定灰色模型拟合优劣，一般认为C值为反映灰色模型整体精度的等级指标，即，C ≤ 0.35为1级（好），0.35 < C ≤ 0.5为2级（合格），C > 0.5则精度较差^[10]；根据稳定系数R²值越大越好以及均方根误差（root mean square error，RMSE）、评价绝对百分比误差（mean absolute percentage error，MAPE）、平均绝对误差（mean absolute error，MAE）和贝叶斯信息准则（Bayesian information criterion，BIC）越小越好的原则^[8-9]来确定指数平滑模型的最优模型，模型的预测效果采用实际值与预测值的平均相对误差进行评价。

2.   结　果

2.1   灰色模型

2.1.1   时间序列预测模型拟合效果评价

将所获数据进行模型拟合，建立灰色GM（1，1）模型。其中，发热门诊就诊数预测模型参数a = – 0.006、u = 34973.77，由此得出发热门诊就诊数预测GM（1，1）模型为：x^（1）（k + 1） = 5829263.667e^0.006k – 5828961.667，后验差比C值为0.50，模型拟合平均相对误差为34.70%；核酸检测阳性数预测模型参数a = – 0.008、u = 19714.85，由此得出核酸检测阳性数预测GM（1，1）模型为：x^（1）（k + 1） = 2464388.25e^0.008k – 2464356.25，后验差比C值为0.40，模型拟合平均相对误差为61.25%；抗原检测阳性数预测模型参数a = – 0.008、u = 15523.92，由此得出抗原检测阳性数预测GM（1，1）模型为：x^（1）（k + 1） = 1956013.92e^0.008k – 1940490，后验差比C值为0.43，模型拟合平均相对误差为32.19%。3个灰色模型的参数 – a均 ≤ 0.3、后验差比C值均 ≤ 0.5，3个模型均可用于中长期预测且模型的整体精度合格，但3个模型拟合结果的平均相对误差均 > 20%，模型的拟合效果不佳，其中以采用抗原检测阳性数进行的预测模型平均相对误差拟合效果相对较佳。

2.1.2   灰色模型预测结果（图1～3）

图  1  发热门诊就诊数预测结果

Figure  1.  Daily number of fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province – dotted line for the actual, light and heavy dashed line for the fitted and the predicted with time series gray model (GM 1, 1)

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图  3  抗原检测阳性数预测结果

Figure  3.  Daily number of SARS-CoV-2 antigen positive among fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province – dotted line for the actual, light and heavy dashed line for the fitted and the predicted with time series gray model (GM 1, 1)

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发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数3条时间序列的预测结果显示，在未来的一段时期内新型冠状病毒的发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数将持续增加，感染者数整体呈上升趋势，具体见图1～3。

图  2  核酸检测阳性数预测结果

Figure  2.  Daily number of SARS-CoV-2 nucleic acid positive among fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province – dotted line for the actual, light and heavy dashed line for the fitted and the predicted with time series gray model (GM 1, 1)

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2.2   指数平滑模型

2.2.1   时序图趋势分析（图4）

图  4  各序列自然对数值时序图

Figure  4.  Natural logarithmic values for number of fever outpatient visits (dotted line), SARS-CoV-2 nucleic acid (light dashed line) and antigen (heavy dashed line) positive among fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 27 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province

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西双版纳傣族自治州2022年12月12 — 27日新型冠状病毒发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数分别在12月13日和21 — 22日出现小高峰，整体均呈现上升趋势，具体见图4。

2.2.2   指数平滑最优模型确定

根据R²值越大越好以及RMSE、MAPE、MAE和BIC越小越好的原则^[8-9]，确定Holt线性趋势模型为最优模型，选用该模型进行数据分析预测。发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数3条时间序列Holt线性趋势模型的R²值分别为0.36、0.56和0.53，RMSE值分别为1456.94、686.70和626.92，MAPE值分别为35.57、108.99和59.13；MAE值分别为925.23、429.17和404.24，BIC值分别为14.92、13.41和13.23，Ljung-Box Q值分别为8.72、13.96和9.35（均P > 0.05），数据拟合后均不存在自相关性，符合指数平滑模型的要求。

2.2.3   指数平滑模型预测结果（图5～7）

图  5  发热门诊就诊数预测结果

Figure  5.  Daily number of fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province – dotted line for the actual, light and heavy dashed line for the fitted and the predicted with time series exponential smoothing model

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图  7  抗原检测阳性数预测结果

Figure  7.  Daily number of SARS-CoV-2 antigen positive among fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province – dotted line for the actual, light and heavy dashed line for the fitted and the predicted with time series exponential smoothing model

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发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数3条时间序列的预测结果显示，在未来的一段时期内新型冠状病毒的发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数均呈上升趋势，其中抗原检测阳性数在12月28 — 29日有小幅下降，而核酸检测阳性数的上升趋势较其他2个序列的上升趋势更大，具体见图5～7。

2.3   灰色模型与指数平滑模型预测效果比较（表1）

表  1  灰色模型和指数平滑模型预测效果比较

Table  1.  Differences（%）between the actual and the predicted with time series gray model (GM 1, 1) and exponential smoothing model in daily number of fever outpatient visits, SARS-CoV-2 nucleic acid and antigen positive among fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (28 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province

序列	日期	实际值	灰色模型GM（1,1）			Holt线性趋势指数平滑模型
			预测值	误差（%）		预测值	误差（%）
发热门诊就诊数	12月28日	3208	4724	47		4724	47
	12月29日	2963	4955	67		4965	68
	12月30日	2190	5187	137		5205	138
	12月31日	2095	5420	159		5446	160
核酸检测阳性数	12月28日	2102	2514	20		2440	16
	12月29日	2055	2693	31		2602	27
	12月30日	1409	2873	104		2765	96
	12月31日	1298	3055	135		2927	126
抗原阳性数	12月28日	2110	2525	20		1 990	6
	12月29日	1706	2665	56		2130	25
	12月30日	1239	2806	126		2271	83
	12月31日	1258	2948	134		2412	92

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灰色模型和指数平滑模型对发热门诊就诊数的预测值与实际值的误差均较大，其中对12月28日和29日的预测值误差均小于12月30日和31日的预测值误差；灰色模型和指数平滑模型对12月28 — 31日发热门诊就诊数预测的平均相对误差均为103%，2个模型对发热门诊就诊数的预测情况相对一致，预测结果均表明发热门诊就诊数将呈上升趋势。灰色模型和指数平滑模型对12月28日和29日核酸检测阳性数的预测值与实际值的误差均较小，对12月30日和31日的预测值与实际值的误差均较大；灰色模型和指数平滑模型对12月28 — 31日核酸检测阳性数预测的平均相对误差分别为72%和66%，2个模型对核酸检测阳性数的预测情况相对一致，预测结果均表明核酸检测阳性数将呈上升趋势。灰色模型和指数平滑模型对12月28日和29日抗原检测阳性数的预测值与实际值的误差均较小，对12月30日和31日的预测结果与实际值的误差均较大。灰色模型和指数平滑模型对12月28 — 31日抗原检测阳性数预测的平均相对误差分别为84%和51%，2个模型对抗原检测阳性数的预测情况相对一致，预测结果均表明抗原检测阳性数将呈上升趋势。

图  6  核酸检测阳性数预测结果

Figure  6.  Daily number of SARS-CoV-2 nucleic acid positive among fever outpatient visits during COVID-19 epidemic (12 – 31 December 2022) in a prefecture and two counties of Yunnan province – dotted line for the actual, light and heavy dashed line for the fitted and the predicted with time series exponential smoothing model

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3.   讨　论

灰色模型和指数平滑模型是时间序列分析中应用较多的预测模型，常被广泛应用于疾病的发病预测^[10-14]。本研究基于西双版纳傣族自治州2022年12月12 — 27日发热门诊新型冠状病毒检测阳性数据分别拟合了灰色模型和指数平滑模型2种模型，再采用2022年12月28 — 31日的数据对模型的预测效果进行验证。结果显示，灰色模型和指数平滑模型对发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数3条时间序列的预测情况相对一致，均表明发热门诊就诊数、核酸检测阳性数和抗原检测阳性数将呈上升趋势，其中对12月28日和29日的预测效果要优于12月30日和31日，整体预测结果与人群新型冠状病毒感染实际趋势较为符合。其中，灰色模型和指数平滑模型对发热门诊就诊数序列的预测效果相同，但指数平滑模型对核酸检测阳性数和抗原检测阳性数预测结果的平均相对误差均小于灰色模型。

新型冠状病毒感染确诊病例的模型预测研究较多，但其所选取的数据量均较大^[15-17]。本研究始于新型冠状病毒感染防控的新时期，此时期难以获得完整的新型冠状病毒实际感染人数，故尝试从可获得的发热门诊就诊数来分析并预测感染人数。由于本研究在数据获取方面存在局限性，仅可利用16 d的数据建立训练集，故选用灰色模型和指数平滑模型进行研究。数据拟合时指数平滑模型会给予近期数据更大的权重，受近期数据变化规律影响较多；而灰色GM（1，1）模型则是一种基于累积生成序列和最小二乘法进行数据分析预测的模型，原始数列的增长趋势对预测的准确性影响较大^[7]。在新型冠状病毒感染列为“乙类乙管”后，由于人群免疫力水平不同、患者可自行多途径购药治疗^[18]以及居民可自愿到医疗机构进行核酸检测或购买抗原试剂自测等多种原因，导致西双版纳傣族自治州发热门诊就诊数波动变化较大。从实际数据来看，原始序列波动较大、增长趋势较大，12月28日前就诊者人数出现小幅下降趋势，而原始序列的增长趋势对灰色模型影响更大，故 GM（1，1）灰色模型的适用性有所下降，指数平滑模型因能对不规则的时间序列加以平滑并给予近期数据更大权重，故适用性相对较好。

综上所述，灰色模型和指数平滑模型在无法获得完整新型冠状病毒实际感染人数且数据波动较大，但又急需对感染人数进行短期预测的时期均具有适用性。其中指数平滑模型在本研究中的预测效果相对更好，在实际运用中可结合此2种模型的预测结果进行分析利用。由于本研究始于新型冠状病毒感染优化防控措施实施之际，发热门诊就诊者新型冠状病毒阳性报告数远小于人群实际感染数，导致预测的感染人数可能低于实际感染人数，为此本研究仍存在一定的局限性。此外，本研究仅有短期的相关数据，且数据量较少，为此研究结果仅适用于“少数据、贫信息”的情况下对疫情进行紧急研判。在未来的研究中，应探索建立长期的动态监测机制并基于此及时进行新型冠状病毒感染人数预测预警工作。